函数极限的归并原理（海涅定理）

本文最后更新于 2025年11月23日 凌晨

函数极限的归并原理（海涅定理）

一、什么是海涅定理？

海涅定理的核心思想是：用数列的极限来研究函数的极限。它建立了函数极限与数列极限之间的桥梁。

在介绍定理之前，我们先回顾一下两种极限的标准定义：

函数极限

lim⁡x→af(x)=A\lim_{x \to a} f(x) = A

描述的是当自变量 xx 以任意方式（从左侧、右侧、或跳跃地）趋近于 aa 时，函数值 f(x)f(x) 都无限趋近于一个确定的常数 AA。

数列极限

lim⁡n→∞xn=a\lim_{n \to \infty} x_n = a

描述的是当项数 nn 无限增大时，数列的项 xnx_n 无限趋近于一个确定的常数 aa。

海涅定理的陈述

设函数 f(x)f(x) 在点 aa 的某个去心邻域内有定义。那么，

lim⁡x→af(x)=A\lim_{x \to a} f(x) = A

成立的充要条件是：对于任何极限为 aa 的数列 {xn}\{x_n\}（即 lim⁡n→∞xn=a\lim_{n \to \infty} x_n = a），且 xn≠ax_n \neq a，它所对应的函数值数列 {f(xn)}\{f(x_n)\} 都以 AA 为极限，即

lim⁡n→∞f(xn)=A\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A

二、如何理解海涅定理？

1. "任意路径"的检验

函数极限 lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) 要求 xx 以所有可能的方式趋近于 aa。海涅定理告诉我们，只需要检验"所有可能的数列"即可。

  • 想象在 xx 轴上，有无数个点列 {xn}\{x_n\} 从四面八方涌向 aa 点
  • 如果对于每一个这样的点列，它们对应的函数值点列 {f(xn)}\{f(x_n)\} 都涌向同一个高度 AA，那么函数的极限就是 AA
  • 反之，只要找到一个特殊的点列 {xn}\{x_n\} 趋近于 aa，但 {f(xn)}\{f(x_n)\} 不趋近于 AA，那么函数的极限就不存在

2. 两种极限的等价性

海涅定理表明，函数极限的问题可以完全转化为数列极限的问题。这让我们可以把数列极限的性质（如四则运算法则、迫敛定理、单调有界定理等）"移植"到函数极限上。

三、海涅定理的主要应用

海涅定理最强大、最常用的地方是：证明函数极限不存在。

证明极限不存在的步骤：

  1. 构造两个（或多个）不同的数列 {xn′}\{x_n'\} 和 {xn′′}\{x_n''\}，它们都满足 lim⁡n→∞xn′=a\lim_{n \to \infty} x_n' = a 且 lim⁡n→∞xn′′=a\lim_{n \to \infty} x_n'' = a
  2. 证明这两个数列对应的函数值数列的极限不相等，即 lim⁡n→∞f(xn′)≠lim⁡n→∞f(xn′′)\lim_{n \to \infty} f(x_n') \neq \lim_{n \to \infty} f(x_n'')
  3. 根据海涅定理，原函数极限 lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) 必然不存在

四、经典例题

例1：证明函数 f(x)=sin⁡1xf(x) = \sin\frac{1}{x} 在 x→0x \to 0 时极限不存在

证明：

构造两个都趋于0的数列：

  • 令 xn′=12nπ+π/2x_n' = \frac{1}{2n\pi + \pi/2}。显然，当 n→∞n \to \infty 时，xn′→0x_n' \to 0

    • 此时，f(xn′)=sin⁡(2nπ+π/2)=sin⁡(π/2)=1f(x_n') = \sin(2n\pi + \pi/2) = \sin(\pi/2) = 1
    • 所以，lim⁡n→∞f(xn′)=1\lim_{n \to \infty} f(x_n') = 1

  • 令 xn′′=12nπ−π/2x_n'' = \frac{1}{2n\pi - \pi/2}。显然，当 n→∞n \to \infty 时，xn′′→0x_n'' \to 0

    • 此时，f(xn′′)=sin⁡(2nπ−π/2)=sin⁡(−π/2)=−1f(x_n'') = \sin(2n\pi - \pi/2) = \sin(-\pi/2) = -1
    • 所以，lim⁡n→∞f(xn′′)=−1\lim_{n \to \infty} f(x_n'') = -1

我们找到了两个趋于0的数列 {xn′}\{x_n'\} 和 {xn′′}\{x_n''\}，但它们的函数值数列分别趋于 1 和 -1 这两个不同的数。因此，根据海涅定理，函数 f(x)=sin⁡1xf(x) = \sin\frac{1}{x} 在 x→0x \to 0 时的极限不存在。

例2：证明狄利克雷函数 D(x)D(x) 在任意点无极限

狄利克雷函数定义为：

D(x)={1,如果 x∈Q（有理数）0,如果 x∈R∖Q（无理数）D(x) = \begin{cases} 1, & \text{如果 } x \in \mathbb{Q} \text{（有理数）} \\ 0, & \text{如果 } x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \text{（无理数）} \end{cases}

证明： 任取一点 aa

  • 在 aa 的附近构造一个全部由有理数组成的数列 {xn′}\{x_n'\}，使得 xn′→ax_n' \to a
    • 根据函数定义，f(xn′)=1f(x_n') = 1，所以 lim⁡n→∞f(xn′)=1\lim_{n \to \infty} f(x_n') = 1
  • 在 aa 的附近构造一个全部由无理数组成的数列 {xn′′}\{x_n''\}，使得 xn′′→ax_n'' \to a
    • 根据函数定义，f(xn′′)=0f(x_n'') = 0，所以 lim⁡n→∞f(xn′′)=0\lim_{n \to \infty} f(x_n'') = 0

由于 1≠01 \neq 0，根据海涅定理，lim⁡x→aD(x)\lim_{x \to a} D(x) 不存在。因为 aa 是任意的，所以狄利克雷函数在任意点都没有极限。

五、注意事项

  1. 任意性：定理中要求"对于任何"以 aa 为极限的数列 {xn}\{x_n\} 结论都成立

    • 要证明极限存在，必须考虑所有情况
    • 要证明极限不存在，只需找到一个反例即可

  2. 去心邻域：定理要求 xn≠ax_n \neq a，这对应了函数极限定义中的"去心"邻域，排除了函数在 aa 点本身是否有定义的影响

  3. 适用范围：海涅定理对于 x→∞x \to \infty，x→a+x \to a^+，x→a−x \to a^- 等情形同样适用，只需将数列的条件相应地修改为 xn→∞x_n \to \infty，xn→a+x_n \to a^+，xn→a−x_n \to a^- 即可

总结

特性 描述
核心思想 用数列极限来刻画和研究函数极限
主要内容 函数极限存在   ⟺  \iff 所有对应的数列极限都存在且相等
主要用途 1. 证明函数极限不存在（通过构造反例）
2. 将函数极限问题转化为数列极限问题
关键点 "任意路径"的检验，数列的"任意性"是重点
#数学 #函数的极限 #海涅定理
函数极限的归并原理（海涅定理）
https://www.apaperclip.eu.org/2025/10/14/2025-10-14-heine定理/
作者
qingsi
发布于
2025年10月14日
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