函数极限的性质与两个重要极限

第一部分：函数极限的性质

假设 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ 和 $\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$ 都存在（且为有限常数），则函数极限具有以下重要性质：

1. 唯一性

如果函数 $f(x)$ 在 $x \to a$ 时的极限存在，那么这个极限是唯一的。

意义：一个函数在某个点的附近只能无限逼近于一个确定的数值。

2. 局部有界性

如果 $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ 存在，那么存在一个点 $a$ 的去心邻域，在这个邻域内，函数 $f(x)$ 是有界的。

即存在常数 $M > 0$ 和 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，有 $|f(x)| \leq M$。

意义：有极限就意味着在极限点附近不会趋于无穷大。

3. 保号性

这是非常关键的一个性质，它描述了函数值与其极限值符号之间的关系。

• 正推保号：如果 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A > 0$（或 $A < 0$），那么存在一个点 $a$ 的去心邻域，在该邻域内恒有 $f(x) > 0$（或 $f(x) < 0$）。

• 反推保号：如果在点 $a$ 的某个去心邻域内恒有 $f(x) \ge 0$（或 $f(x) \le 0$），并且 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$，那么 $A \ge 0$（或 $A \le 0$）。

意义：如果一个函数在某个点有正的极限，那么在这个点附近，函数值也必然是正的。

4. 四则运算法则

假设 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$，$\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$，则：

• 和/差：$\lim\limits_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
• 积：$\lim\limits_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$
• 商：$\lim\limits_{x \to a} [f(x) / g(x)] = A / B \quad (B \neq 0)$

意义：极限可以"拆开"计算，这大大简化了复杂函数极限的求解过程。

5. 复合函数的极限运算法则

设 $\lim\limits_{x \to a} u(x) = b$，且 $\lim\limits_{u \to b} f(u) = A$，并且在点 $a$ 的某个去心邻域内 $u(x) \neq b$，那么复合函数 $f[u(x)]$ 在 $x \to a$ 时的极限存在，且 $\lim\limits_{x \to a} f[u(x)] = A$。

意义：这允许我们通过变量代换来求解复杂的极限问题。

函数极限性质的证明

1. 唯一性的证明

定理：若 $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ 存在，则此极限唯一。

证明：（反证法）

假设 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ 且 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = B$，其中 $A \neq B$。

取 $\varepsilon = \frac{|A - B|}{2} > 0$。

由极限定义：

• 存在 $\delta_1 > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta_1$ 时，$|f(x) - A| < \varepsilon$
• 存在 $\delta_2 > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta_2$ 时，$|f(x) - B| < \varepsilon$

取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$，则当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，同时有：

$$|f(x) - A| < \varepsilon \quad \text{且} \quad |f(x) - B| < \varepsilon$$

考虑：

$$|A - B| = |(A - f(x)) + (f(x) - B)| \leq |A - f(x)| + |f(x) - B| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$$

但 $2\varepsilon = |A - B|$，所以：

$$|A - B| < |A - B|$$

这产生矛盾！故假设不成立，极限唯一。

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2. 局部有界性的证明

定理：若 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$，则存在 $\delta > 0$ 和 $M > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，$|f(x)| \leq M$。

证明：

取 $\varepsilon = 1$，由极限定义，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时：

$$|f(x) - A| < 1$$

由三角不等式：

$$|f(x)| = |f(x) - A + A| \leq |f(x) - A| + |A| < 1 + |A|$$

取 $M = 1 + |A|$，则当 $0 < |x - a| < \delta$ 时：

$$|f(x)| \leq M$$

证毕。

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3. 保号性的证明

定理：

• 若 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A > 0$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，$f(x) > 0$
• 若 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A < 0$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，$f(x) < 0$

证明：（以 $A > 0$ 情况为例）

取 $\varepsilon = \frac{A}{2} > 0$，由极限定义，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时：

$$|f(x) - A| < \frac{A}{2}$$

即：

$$-\frac{A}{2} < f(x) - A < \frac{A}{2}$$

整理得：

$$\frac{A}{2} < f(x) < \frac{3A}{2}$$

由于 $\frac{A}{2} > 0$，所以 $f(x) > 0$。

$A < 0$ 的情况证明类似。

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4. 四则运算法则的证明

定理：若 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$，$\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$，则：

(1) 和差法则：$\lim\limits_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$

证明：

任给 $\varepsilon > 0$，由极限定义：

• 存在 $\delta_1 > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta_1$ 时，$|f(x) - A| < \frac{\varepsilon}{2}$
• 存在 $\delta_2 > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta_2$ 时，$|g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2}$

取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$，则当 $0 < |x - a| < \delta$ 时：

$$\begin{aligned} |(f(x) \pm g(x)) - (A \pm B)| &= |(f(x) - A) \pm (g(x) - B)| \\ &\leq |f(x) - A| + |g(x) - B| \\ &< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{aligned}$$

(2) 积法则：$\lim\limits_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$

证明：

考虑：

$$\begin{aligned} |f(x)g(x) - AB| &= |f(x)g(x) - Ag(x) + Ag(x) - AB| \\ &= |g(x)(f(x) - A) + A(g(x) - B)| \\ &\leq |g(x)||f(x) - A| + |A||g(x) - B| \end{aligned}$$

由局部有界性，存在 $\delta_0 > 0$ 和 $M > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta_0$ 时，$|g(x)| \leq M$。

任给 $\varepsilon > 0$，由极限定义：

• 存在 $\delta_1 > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta_1$ 时，$|f(x) - A| < \frac{\varepsilon}{2(M + 1)}$
• 存在 $\delta_2 > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta_2$ 时，$|g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2(|A| + 1)}$

取 $\delta = \min(\delta_0, \delta_1, \delta_2)$，则当 $0 < |x - a| < \delta$ 时：

$$\begin{aligned} |f(x)g(x) - AB| &\leq |g(x)||f(x) - A| + |A||g(x) - B| \\ &< M \cdot \frac{\varepsilon}{2(M + 1)} + |A| \cdot \frac{\varepsilon}{2(|A| + 1)} \\ &< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{aligned}$$

(3) 商法则：$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)$

证明：

先证 $\lim\limits_{x \to a} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{B}$。

由于 $B \neq 0$，取 $\varepsilon_0 = \frac{|B|}{2} > 0$，存在 $\delta_0 > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta_0$ 时：

$$|g(x) - B| < \frac{|B|}{2} \Rightarrow |g(x)| > \frac{|B|}{2}$$

任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta_1$ 时：

$$|g(x) - B| < \frac{|B|^2}{2} \varepsilon$$

取 $\delta = \min(\delta_0, \delta_1)$，则当 $0 < |x - a| < \delta$ 时：

$$\begin{aligned} \left|\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{B}\right| &= \frac{|g(x) - B|}{|g(x)||B|} \\ &< \frac{|g(x) - B|}{\frac{|B|}{2} \cdot |B|} = \frac{2|g(x) - B|}{|B|^2} \\ &< \frac{2}{|B|^2} \cdot \frac{|B|^2}{2} \varepsilon = \varepsilon \end{aligned}$$

故 $\lim\limits_{x \to a} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{B}$。

由积法则：

$$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} = A \cdot \frac{1}{B} = \frac{A}{B}$$

第二部分：两个重要极限

这两个极限之所以"重要"，是因为它们像公式一样，是推导许多其他极限和导数公式的基础。

重要极限一：$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

表达式：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

理解：当角度 $x$（以弧度为单位）无限接近于 $0$ 时，$\sin x$ 与 $x$ 的比值无限接近于 $1$。这说明在无穷小的尺度下，正弦函数与其弧度值是"等价"的。

应用与变形：

• 这个极限的核心形式是 “$\frac{\sin \Box}{\Box} \to 1$，当 $\Box \to 0$”
• 只要这个"$\Box$"是趋于 $0$ 的同一个表达式，极限就是 $1$

例子：

1. $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1$

2. $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 1$

3. $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \times 1 = 1$

4. 计算 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

   解：利用三角恒等变换 $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$

   $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{x}{2})}{x^2} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2(\frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})^2} \\ &= \frac{1}{2} \times 1^2 = \frac{1}{2} \end{aligned}$$

重要极限二：$\lim\limits_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$

表达式：

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad (e \approx 2.71828\ldots)$$

理解：这个极限描述了一种"连续复利"的增长模式。当计息期无限缩短（次数 $x$ 趋于无穷大）时，本金 $1$ 元钱在单位时间后连本带利的极限金额就是 $e$ 元。

应用与变形：

• 核心形式：“$(1 + \frac{1}{\Box})^\Box \to e$，当 $\Box \to \infty$”
• 更一般的形式：“$(1 + \alpha)^{\frac{1}{\alpha}} \to e$，当 $\alpha \to 0$”

例子：

1. $\lim\limits_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

   解：令 $t = \frac{x}{2}$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to \infty$

   $$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x &= \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{2t} \\ &= \left[\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t\right]^2 = e^2 \end{aligned}$$

2. $\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$（这是上述极限的另一种常见形式）

3. 计算 $\lim\limits_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

   解：设 $y = (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$，则 $\ln y = \frac{\ln(\cos x)}{x^2}$

   $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \ln y &= \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2} \quad (\text{此时为 } \frac{0}{0} \text{型}) \\ \text{利用等价无穷小：} & \ln(\cos x) = \ln(1 + (\cos x - 1)) \sim \cos x - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2 \\ \lim_{x \to 0} \ln y &= \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2} = -\frac{1}{2} \\ \text{所以，} \lim_{x \to 0} y &= e^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}$$

总结

• 函数极限的性质（唯一性、有界性、保号性、四则运算）是分析和计算极限的理论基础
• 两个重要极限是解决特定类型极限问题的强大工具，它们本身也是定义数学常数 $e$ 和建立三角函数与指数函数导数公式的关键

熟练掌握这些性质和重要极限，并理解其背后的思想和变形技巧，是学好微积分的第一步。