导数的定义和几何性质

导数的定义与几何意义

1. 导数的定义

导数是函数值的瞬时变化率，描述函数在某一点的变化速度。

1.1 从瞬时速度引入

设物体做直线运动，位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s = f(t)$

• 平均速度（在 $[t_0, t_0 + \Delta t]$ 内）：

  $$\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{f(t_0 + \Delta t) - f(t_0)}{\Delta t}$$

• 瞬时速度（在 $t_0$ 时刻）：
  当 $\Delta t \to 0$ 时，平均速度的极限即为瞬时速度

1.2 严格的数学定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，当自变量在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ 时，函数相应的增量为：

$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$

如果极限

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

存在，则称函数在点 $x_0$ 处可导，该极限值称为函数在 $x_0$ 处的导数，记作：

$$f'(x_0) \quad \text{或} \quad y'\big|_{x=x_0} \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}$$

1.3 导函数

如果函数在区间 $I$ 内每一点都可导，则构成导函数：

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

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2. 导数的几何意义

2.1 核心结论

函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 的几何意义是：

曲线 $y = f(x)$ 在点 $P(x_0, f(x_0))$ 处的切线的斜率

2.2 从割线到切线的过程

1. 割线 $PQ$：

   • 取曲线上两点：$P(x_0, f(x_0))$ 和 $Q(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$
   • 割线 $PQ$ 的斜率为：

     $$k_{\text{割线}} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

2. 切线 $PT$：

   • 当 $Q \to P$，即 $\Delta x \to 0$ 时，割线 $PQ$ 的极限位置 $PT$ 就是切线
   • 切线斜率即为割线斜率的极限：

     $$k_{\text{切线}} = \lim_{\Delta x \to 0} k_{\text{割线}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)$$

2.3 几何应用

已知切点 $P(x_0, f(x_0))$ 和切线斜率 $k = f'(x_0)$：

• 切线方程：

  $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$

• 法线方程（与切线垂直）：

  • 法线斜率：$k_n = -\dfrac{1}{f'(x_0)}$（当 $f'(x_0) \neq 0$）
  • 法线方程：

    $$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$$

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3. 总结

方面	定义/意义	核心思想
代数定义	瞬时变化率：$\displaystyle f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$	用极限过程，以"平均"逼近"瞬时"
几何意义	曲线在某点的切线斜率	割线的极限位置是切线，其斜率的极限是导数

核心思想：导数就是变化率，在几何上表现为斜率