柯西中值定理与洛必达法则的推导

柯西中值定理

定理陈述

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足以下条件：

1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导
3. 在 $(a, b)$ 内，$g'(x) \neq 0$

则存在一点 $c \in (a, b)$，使得：

$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$

几何解释

该定理表明存在点 $c$，使得两个函数在区间端点连线的斜率比等于在该点处切线斜率的比。

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洛必达法则的证明 (0/0型)

定理条件

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

1. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$ 且 $\lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$
2. 在点 $a$ 的某个去心邻域内，$f'(x)$ 和 $g'(x)$ 存在，且 $g'(x) \neq 0$
3. 极限 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为无穷大）

则：

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

证明过程

第一步：构造函数

定义新函数：

$$F(x) = \begin{cases} f(x) & \text{若 } x \neq a \\ 0 & \text{若 } x = a \end{cases} \quad G(x) = \begin{cases} g(x) & \text{若 } x \neq a \\ 0 & \text{若 } x = a \end{cases}$$

由于 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$ 和 $\lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$，函数 $F(x)$ 和 $G(x)$ 在 $x = a$ 处连续。

第二步：应用柯西中值定理

对于任意 $x \neq a$ 在所述邻域内，在区间 $[a, x]$（或 $[x, a]$）上应用柯西中值定理：

存在 $c \in (a, x)$（或 $(x, a)$）使得：

$$\frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \frac{F'(c)}{G'(c)}$$

代入定义得：

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$

第三步：取极限

当 $x \to a$ 时，由于 $c$ 介于 $a$ 和 $x$ 之间，有 $c \to a$。

因此：

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{c \to a} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

证毕。

关键点总结

• 证明的核心是柯西中值定理
• 通过补充定义使函数连续
• 利用中间点 $c$ 的趋近性完成极限过渡
• 该证明展示了微积分基本定理之间的深刻联系