泰勒公式的推导与几个初等函数的麦克劳林公式

泰勒公式及其推导

泰勒公式概述

泰勒公式是用多项式来逼近函数的重要工具，主要有两种形式：

Peano 型泰勒公式

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，则存在多项式：

$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$$

使得：

$$f(x) = P_n(x) + o((x-x_0)^n) \quad (x \to x_0)$$

其中 $R_n(x) = o((x-x_0)^n)$ 称为 Peano 余项。

Lagrange 型泰勒公式

设函数 $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的区间上具有 $n+1$ 阶导数，则对任意 $x$，存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 和 $x$ 之间，使得：

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

其中 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ 称为 Lagrange 余项。

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推导过程

Peano 余项泰勒公式推导

思路：通过逐步构造多项式，证明余项是高阶无穷小。

1. 构造多项式：
   设 $P_n(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \cdots + a_n(x-x_0)^n$

2. 确定系数：
   要求 $f(x) - P_n(x) = o((x-x_0)^n)$，即：

   $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_n(x)}{(x-x_0)^n} = 0$$

   通过反复求导并令 $x = x_0$，可得：

   $$a_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \quad (k=0,1,\cdots,n)$$

3. 验证余项性质：
   使用洛必达法则 $n$ 次：

   $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_n(x)}{(x-x_0)^n} = \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(x_0)}{n!(x-x_0)} = 0$$

   因此 $R_n(x) = o((x-x_0)^n)$。

Lagrange 余项泰勒公式推导

思路：利用柯西中值定理。

1. 构造函数：
   定义：

   $$F(t) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k$$

   $$G(t) = (x-t)^{n+1}$$

2. 应用柯西中值定理：
   在区间 $[x_0, x]$ 上，存在 $\xi \in (x_0, x)$ 使得：

   $$\frac{F(x) - F(x_0)}{G(x) - G(x_0)} = \frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}$$

3. 计算导数：

   $$F'(t) = -\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n$$

   $$G'(t) = -(n+1)(x-t)^n$$

4. 代入并整理：

   $$\frac{F(x_0)}{(x-x_0)^{n+1}} = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$$

   因此：

   $$R_n(x) = F(x_0) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

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基本初等函数的麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式在 $x_0 = 0$ 处的特例。

1. 指数函数 $e^x$

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x)$$

Peano 余项：$R_n(x) = o(x^n)$
Lagrange 余项：$R_n(x) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{n+1}$

2. 正弦函数 $\sin x$

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2k+1}(x)$$

Peano 余项：$R_{2k+1}(x) = o(x^{2k+1})$
Lagrange 余项：$R_{2k+1}(x) = (-1)^{k+1} \frac{\cos \xi}{(2k+3)!}x^{2k+3}$

3. 余弦函数 $\cos x$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + R_{2k}(x)$$

Peano 余项：$R_{2k}(x) = o(x^{2k})$
Lagrange 余项：$R_{2k}(x) = (-1)^{k+1} \frac{\cos \xi}{(2k+2)!}x^{2k+2}$

4. 自然对数 $\ln(1+x)$

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + R_n(x)$$

收敛区间：$(-1, 1]$
Peano 余项：$R_n(x) = o(x^n)$
Lagrange 余项：$R_n(x) = (-1)^n \frac{x^{n+1}}{(n+1)(1+\xi)^{n+1}}$

5. 二项式函数 $(1+x)^\alpha$

$$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + R_n(x)$$

Peano 余项：$R_n(x) = o(x^n)$
Lagrange 余项：$R_n(x) = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n)}{(n+1)!}(1+\xi)^{\alpha-n-1}x^{n+1}$

6. 几何级数 $\frac{1}{1-x}$

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + R_n(x)$$

收敛区间：$(-1, 1)$
Peano 余项：$R_n(x) = o(x^n)$
精确余项：$R_n(x) = \frac{x^{n+1}}{1-x}$

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应用说明

• Peano 余项：主要用于局部逼近，研究函数在一点附近的性质
• Lagrange 余项：可用于估计逼近误差，进行数值计算
• 麦克劳林公式：是理论和计算中的重要工具，广泛应用于极限计算、积分近似等领域

这些公式为函数逼近和数值分析提供了理论基础。