麦克劳林公式在全定义域精确的函数实例

麦克劳林公式（即麦克劳林级数）在全定义域上都精确等于原函数的函数实例，通常要求函数是解析函数，且其麦克劳林级数在整个实数域（或整个定义域）内收敛于函数本身。以下是一些常见的例子：

实例列表

1. 指数函数 $e^x$

麦克劳林级数：

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

该级数对于所有实数 $x$ 都收敛，且精确等于 $e^x$。

2. 正弦函数 $\sin x$

麦克劳林级数：

$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$

该级数对于所有实数 $x$ 都收敛，且精确等于 $\sin x$。

3. 余弦函数 $\cos x$

麦克劳林级数：

$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$

该级数对于所有实数 $x$ 都收敛，且精确等于 $\cos x$。

4. 双曲正弦函数 $\sinh x$

麦克劳林级数：

$$\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$

该级数对于所有实数 $x$ 都收敛，且精确等于 $\sinh x$。

5. 双曲余弦函数 $\cosh x$

麦克劳林级数：

$$\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$

该级数对于所有实数 $x$ 都收敛，且精确等于 $\cosh x$。

6. 多项式函数

任何多项式函数 $P(x)$ 的麦克劳林级数就是其自身（因为高阶导数为零），因此在整个定义域上精确。例如，二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的麦克劳林级数就是 $f(x)$。

说明

这些函数的麦克劳林级数在整个实数域上都收敛且精确等于原函数，是因为它们都是整函数（entire function），即在整个复平面上解析。对于其他函数（如对数函数或有理函数），麦克劳林级数通常只在有限区间内收敛，因此不符合要求。