e的重要极限证明

证明：$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

证明思路

要证明序列 $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 的极限是自然常数 $e$，我们将使用以下步骤：

1. 使用二项式定理展开 $a_n$
2. 证明序列 $a_n$ 是单调递增的
3. 证明序列 $a_n$ 是有上界的
4. 应用单调收敛定理证明序列收敛
5. 证明极限值等于 $e$

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详细证明

步骤1：二项式展开

使用二项式定理展开 $a_n$：

$$\begin{aligned} a_n &= \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{1}{n^k} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right) \end{aligned}$$

其中 $\prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right)$ 是小于等于 1 的因子。

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步骤2：证明序列 $a_n$ 是递增的

考虑 $a_{n+1}$：

$$\begin{aligned} a_{n+1} &= \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \\ &= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} \frac{1}{(n+1)^k} \\ &= \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n+1}\right) \end{aligned}$$

对于每个 $k \leq n$，有：

$$\prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n+1}\right) > \prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right)$$

因为 $n+1 > n$，所以每个因子都更大。此外，$a_{n+1}$ 比 $a_n$ 多一项（当 $k = n+1$ 时），因此：

$$a_{n+1} > a_n$$

序列 $a_n$ 是严格递增的。

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步骤3：证明序列 $a_n$ 有上界

从二项式展开：

$$\begin{aligned} a_n &= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right) \\ &\leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \quad \text{(因为 } \prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right) \leq 1 \text{)} \end{aligned}$$

已知级数 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$ 收敛，因此部分和 $\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} < e$（对于 $n \geq 1$）。所以：

$$a_n < e$$

序列 $a_n$ 有上界 $e$。

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步骤4：序列收敛于极限 $L$

由于序列 $a_n$ 递增且有上界，根据单调收敛定理，它收敛到某个极限 $L$，且 $L \leq e$。

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步骤5：证明 $L = e$

对于任意固定的整数 $m \leq n$，有：

$$a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right) \geq \sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right)$$

因为所有项非负。当 $n \to \infty$ 时，对于每个固定的 $k \leq m$，有 $\prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right) \to 1$，所以：

$$\liminf_{n \to \infty} a_n \geq \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right) = \sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!}$$

由于 $m$ 是任意的，令 $m \to \infty$，则 $\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!} \to e$，因此 $\liminf_{n \to \infty} a_n \geq e$。但之前有 $a_n < e$，所以 $\limsup_{n \to \infty} a_n \leq e$。于是：

$$\liminf_{n \to \infty} a_n \geq e \quad \text{且} \quad \limsup_{n \to \infty} a_n \leq e$$

这意味着：

$$\lim_{n \to \infty} a_n = e$$

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结论

因此，我们证明了：

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

这个证明是数学分析中的标准方法，展示了如何利用二项式定理、序列性质和极限理论来建立自然常数 $e$ 的定义。