函数极限的存在准则

1. 夹逼准则（Squeeze Theorem）

定理内容

设函数 $f(x), g(x), h(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内满足：

1. $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$
2. $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = \lim\limits_{x \to x_0} h(x) = A$

则 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$

证明思路

由条件可得：

$$|f(x) - A| \leq \max\{|g(x) - A|, |h(x) - A|\}$$

当 $x \to x_0$ 时，右边趋于 0，故左边也趋于 0。

应用示例

证明 $\lim\limits_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$

解：由于 $-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$，所以：

$$-x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2$$

而 $\lim\limits_{x \to 0} (-x^2) = \lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0$，由夹逼准则得证。

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2. 单调有界准则

定理内容

若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内：

1. 单调递增 且 有上界，则 $\lim\limits_{x \to b^-} f(x)$ 存在
2. 单调递减 且 有下界，则 $\lim\limits_{x \to b^-} f(x)$ 存在

重要推论

• 单调有界数列必有极限
• 单调有界函数在区间端点处的单侧极限存在

应用示例

考虑函数 $f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$，当 $x \to +\infty$ 时：

1. 可以证明该函数单调递增
2. 且有上界 $e$

因此 $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ 存在，定义为 $e$

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3. 柯西收敛准则

定理内容

极限 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在的充要条件是：

$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{当 } 0 < |x_1 - x_0| < \delta, 0 < |x_2 - x_0| < \delta \text{ 时}$$

有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$

几何解释

当自变量充分接近 $x_0$ 时，函数值的波动可以任意小。

应用价值

• 不需要预先知道极限值
• 适用于理论证明
• 是判断极限存在性的根本准则

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4. 海涅定理

定理内容

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$ 的充要条件是：
对于任意满足 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x_0$ 且 $x_n \neq x_0$ 的数列 $\{x_n\}$，都有：

$$\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = A$$

应用技巧

• 可用数列极限研究函数极限
• 可用于证明某些极限不存在（找到两个收敛于同一点的数列，但函数值极限不同）

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5. 总结对比

准则名称	适用场景	优点	局限性
夹逼准则	函数被两个已知极限的函数控制	直观易懂，计算方便	需要找到合适的控制函数
单调有界	单调函数	证明简单，结论强	只适用于单调函数
柯西准则	一般情况	不需要预知极限值	验证较复杂
海涅定理	函数极限与数列极限的转换	可利用数列性质	需要验证所有可能的数列

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6. 典型例题

例题1

判断 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 是否存在

解：利用夹逼准则和几何关系可得极限为 1。

例题2

证明 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$ 不存在

解：取数列 $x_n = \frac{1}{n}$ 和 $y_n = -\frac{1}{n}$，由海涅定理可知极限不存在。