泰勒公式的应用举例与证明

一、泰勒公式简介

泰勒定理：
如果函数 $f(x)$ 在包含点 $x=a$ 的一个开区间上具有直到 $n+1$ 阶的导数，那么对于该区间内的任意 $x$，有：

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$

其中，$R_n(x)$ 是余项，表示多项式逼近的误差。最常见的是拉格朗日余项：

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

这里的 $\xi$ 是介于 $a$ 和 $x$ 之间的某个值。

当 $a = 0$ 时，这个公式被称为麦克劳林公式。

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二、泰勒公式的应用举例

应用1：求函数的极限

例题： 求极限 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$

解：

1. $\sin x$ 的麦克劳林展开：

   $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + o(x^5)$$

   展开到 $x^3$ 项：

   $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$

2. 代入极限：

   $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} &= \lim_{x \to 0} \frac{\left( x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \right) - x}{x^3} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{ -\frac{x^3}{6} + o(x^3) }{x^3} \\ &= \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{6} + \frac{o(x^3)}{x^3} \right) \\ &= -\frac{1}{6} \end{aligned}$$

应用2：函数值的近似计算

例题： 估算 $e^{0.1}$ 的值，要求误差小于 $10^{-5}$

解：

1. $e^x$ 的麦克劳林展开：

   $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$

2. 拉格朗日余项估计：

   $$R_n(0.1) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}(0.1)^{n+1},\quad 0 < \xi < 0.1$$

3. 确定展开阶数：

   • $n=4$ 时：$R_4 = \frac{2}{5!}(0.1)^5 \approx 1.67 \times 10^{-7}$（满足要求）

4. 计算近似值：

   $$\begin{aligned} e^{0.1} &\approx 1 + 0.1 + \frac{(0.1)^2}{2} + \frac{(0.1)^3}{6} + \frac{(0.1)^4}{24} \\ &= 1 + 0.1 + 0.005 + 0.0001666... + 0.000004166... \\ &\approx 1.105170833... \end{aligned}$$

应用3：证明不等式

例题： 证明当 $x > 0$ 时，$\sin x > x - \frac{x^3}{6}$

证明：

1. $\sin x$ 的带拉格朗日余项的泰勒展开：

   $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\sin \xi}{24}x^4,\quad 0 < \xi < x$$

2. 由于 $x > 0$ 且 $0 < \xi < x$，有 $\sin \xi > 0$，因此：

   $$\frac{\sin \xi}{24}x^4 > 0$$

3. 于是：

   $$\sin x = \left( x - \frac{x^3}{6} \right) + \frac{\sin \xi}{24}x^4 > x - \frac{x^3}{6}$$

   证毕。

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三、泰勒公式的证明（带拉格朗日余项）

定理： 如果 $f(x)$ 在包含 $a$ 的区间 $I$ 上具有直到 $n+1$ 阶导数，则：

$$f(x) = P_n(x) + R_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

证明：

1. 定义泰勒多项式：

   $$P_n(t) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(t-a)^k$$

   和余项 $R_n(x) = f(x) - P_n(x)$

2. 构造辅助函数：

   $$g(t) = f(t) - P_n(t) - K(t-a)^{n+1}$$

   其中 $K$ 满足 $g(x) = 0$，即：

   $$K = \frac{R_n(x)}{(x-a)^{n+1}}$$

3. 函数 $g(t)$ 的性质：

   • $g(a) = g(x) = 0$
   • $g^{(k)}(a) = 0$ 对于 $k = 0, 1, \ldots, n$

4. 反复应用罗尔定理 $n+1$ 次，存在 $\xi \in (a, x)$ 使得：

   $$g^{(n+1)}(\xi) = 0$$

5. 计算 $g^{(n+1)}(t)$：

   $$\begin{aligned} g^{(n+1)}(t) &= \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}[f(t) - P_n(t) - K(t-a)^{n+1}] \\ &= f^{(n+1)}(t) - 0 - K \cdot (n+1)! \end{aligned}$$

6. 代入 $t = \xi$：

   $$f^{(n+1)}(\xi) - K \cdot (n+1)! = 0 \Rightarrow K = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$$

7. 结合 $K$ 的定义：

   $$\frac{R_n(x)}{(x-a)^{n+1}} = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \Rightarrow R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

   证毕。

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四、某点的泰勒公式对全定义域都精确吗？

答案：不一定。 泰勒公式在某点展开的精确性取决于函数的性质和展开点的选择。

核心概念：泰勒多项式 vs. 泰勒级数

• 泰勒多项式：有限项，总是存在误差
• 泰勒级数：无穷项的和，收敛性决定精确性

四种典型情况

情况	描述	全定义域精确？	例子
1. 有限项泰勒多项式	有限项加余项	几乎从不	用 $x - \frac{x^3}{6}$ 近似 $\sin x$
2. 解析函数	泰勒级数收敛且等于函数	是	$e^x$, $\sin x$, $\cos x$
3. 非解析光滑函数	泰勒级数存在但不收敛到函数	否	$f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$
4. 有限收敛半径	泰勒级数只在收敛区间内有效	否	$\frac{1}{1-x}$ 在 $x=0$ 处展开

关键结论

泰勒公式要对整个定义域都精确，需要满足：

• 函数是解析函数
• 泰勒级数的收敛半径为无穷大

只有少数函数（如 $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ 等）满足这个条件。对于大多数函数，泰勒展开只在展开点的某个邻域内有效。

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总结

泰勒公式的核心价值在于：

1. 化繁为简：将复杂函数转化为多项式
2. 量化误差：通过余项控制计算精度
3. 应用广泛：在极限计算、数值分析、物理建模等领域都是核心工具

理解泰勒公式的适用范围和局限性，对于正确应用这一强大工具至关重要。