证明：lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = elimn→∞​(1+n1​)n=e 证明思路 要证明序列 an=(1+1n)na_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^nan​=(1+n1​)n 的极限是自然常数 eee，我们将使用以下步骤： 使用二项式定理展开 ana_

函数极限的归并原理（海涅定理） 一、什么是海涅定理？ 海涅定理的核心思想是：用数列的极限来研究函数的极限。它建立了函数极限与数列极限之间的桥梁。 在介绍定理之前，我们先回顾一下两种极限的标准定义： 函数极限 lim⁡x→af(x)=A\lim_{x \to a} f(x) = Alimx→a​f(x)=A 描述的是当自变量 xxx 以任意方式（从左侧、右侧、或跳跃地）趋近于 aaa 时，函数值 f

函数极限的概念与验证 1. 直观理解：趋近于的含义 函数极限描述的是：当自变量 xxx 无限接近（但不等于）某个值 aaa 时，函数值 f(x)f(x)f(x) 会稳定地接近一个确定的数值 LLL。 示例： f(x)=x+1f(x) = x + 1f(x)=x+1 观察当 xxx 趋近于 2 时的变化： x=1.9⇒f(x)=2.9x = 1.9 \Rightarrow f(x) = 2.9x=

柯西数列与收敛数列的等价性 在数学分析中，柯西数列和收敛数列是两个基本而重要的概念。本文将探讨它们在实数系中的等价性，并给出详细的证明。 定义 收敛数列 数列 {an}\{a_n\}{an​} 称为收敛的，如果存在实数 LLL，使得对于任意 ε>0\varepsilon > 0ε>0，存在正整数 NNN，当 n>Nn > Nn>N 时，有： ∣an−L∣<

知周所众，ChatGPT有两种用法： 网页版: 频率限制宽，免费，但是有 Cloudflare 检测，不稳定 API：兼容各种服务，稳定，但免费版频率限制严，不适合像我这样的穷逼使用 然而，例如 Openai Translator 这样的服务，需要使用 API ，所以我一直在等待一个能把网页版转换成 API 的项目。之前一段时间我终于等到了这个项目 ChatGPT to API。 但是实践之后

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