泰勒公式的应用举例与证明 一、泰勒公式简介 泰勒定理： 如果函数 f(x)f(x)f(x) 在包含点 x=ax=ax=a 的一个开区间上具有直到 n+1n+1n+1 阶的导数，那么对于该区间内的任意 xxx，有： f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+Rn(x)f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \f

洛必达法则失效的分析 洛必达法则是计算极限的常用工具，适用于"0/0"或"∞/∞"型未定式。然而，在某些情况下，洛必达法则可能失效，即应用后无法得到正确结果或陷入循环。本文将举例说明失效情况、解释失效原因，并讨论应用场景。 1. 洛必达法则失效的举例 例1：极限不存在但洛必达法则应用后得到错误结果 考虑极限： lim⁡x→∞x+sin⁡xx\lim_{x \

柯西中值定理 定理陈述 设函数 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 满足以下条件： 在闭区间 [a,b][a, b][a,b] 上连续 在开区间 (a,b)(a, b)(a,b) 内可导 在 (a,b)(a, b)(a,b) 内，g′(x)≠0g'(x) \neq 0g′(x)=0 则存在一点 c∈(a,b)c \in (a, b)c∈(a,b)，使得： f(b

泰勒公式及其推导 泰勒公式概述 泰勒公式是用多项式来逼近函数的重要工具，主要有两种形式： Peano 型泰勒公式 设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0​ 处有 nnn 阶导数，则存在多项式： Pn(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)kP_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k Pn​(x)=k=0

导数的定义与几何意义 1. 导数的定义 导数是函数值的瞬时变化率，描述函数在某一点的变化速度。 1.1 从瞬时速度引入 设物体做直线运动，位移 sss 与时间 ttt 的关系为 s=f(t)s = f(t)s=f(t) 平均速度（在 [t0,t0+Δt][t_0, t_0 + \Delta t][t0​,t0​+Δt] 内）： vˉ=ΔsΔt=f(t0+Δt)−f(t0)Δt\bar{v} =

函数极限的存在准则 1. 夹逼准则（Squeeze Theorem） 定理内容 设函数 f(x),g(x),h(x)f(x), g(x), h(x)f(x),g(x),h(x) 在点 x0x_0x0​ 的某去心邻域内满足： g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x) lim⁡x→x0g(x)=lim⁡x→x0h(x)=A\lim\li

函数极限的性质与两个重要极限 第一部分：函数极限的性质 假设 lim⁡x→af(x)=A\lim\limits_{x \to a} f(x) = Ax→alim​f(x)=A 和 lim⁡x→ag(x)=B\lim\limits_{x \to a} g(x) = Bx→alim​g(x)=B 都存在（且为有限常数），则函数极限具有以下重要性质： 1. 唯一性 如果函数 f(x)f(x)f(x) 在

证明：lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = elimn→∞​(1+n1​)n=e 证明思路 要证明序列 an=(1+1n)na_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^nan​=(1+n1​)n 的极限是自然常数 eee，我们将使用以下步骤： 使用二项式定理展开 ana_

函数极限的归并原理（海涅定理） 一、什么是海涅定理？ 海涅定理的核心思想是：用数列的极限来研究函数的极限。它建立了函数极限与数列极限之间的桥梁。 在介绍定理之前，我们先回顾一下两种极限的标准定义： 函数极限 lim⁡x→af(x)=A\lim_{x \to a} f(x) = Alimx→a​f(x)=A 描述的是当自变量 xxx 以任意方式（从左侧、右侧、或跳跃地）趋近于 aaa 时，函数值 f

函数极限的概念与验证 1. 直观理解：趋近于的含义 函数极限描述的是：当自变量 xxx 无限接近（但不等于）某个值 aaa 时，函数值 f(x)f(x)f(x) 会稳定地接近一个确定的数值 LLL。 示例： f(x)=x+1f(x) = x + 1f(x)=x+1 观察当 xxx 趋近于 2 时的变化： x=1.9⇒f(x)=2.9x = 1.9 \Rightarrow f(x) = 2.9x=